#1 Основные понятия, характеризующие строение и функционирование системы

№37 Алгоритм принципа максимума Понтрягина

Оптимальное управление — это задача проектирования системы, обеспечивающей для заданного объекта управления или процесса закон управления или управляющую последовательность воздействий, обеспечивающих максимум или минимум заданной совокупности критериев качества системы ^[1].

Для решения задачи оптимального управления строится математическая модель управляемого объекта или процесса, описывающая его поведение с течением времени под влиянием управляющих воздействий и собственного текущего состояния. Математическая модель для задачи оптимального управления включает в себя: формулировку цели управления, выраженную через критерий качества управления; определение дифференциальных или разностных уравнений, описывающих возможные способы движения объекта управления; определение ограничений на используемые ресурсы в виде уравнений или неравенств^[2].

Наиболее широко при проектировании систем управления применяются следующие методы: вариационное исчисление, принцип максимума Понтрягина и динамическое программирование Беллмана^[1].

Задача оптимального управления

Сформулируем задачу оптимального управления:

Уравнения состояния: $\dot{x}(t)=a[x(t),u(t),t]$ (1).
Граничные условия $x(t_0)=x_{0}^{*}$ , $x(t_1)=x_{1}^{*}$ (2).
Минимизируемый функционал: $\eta=\int_{t_0}^{t_1}F[x(\tau),\dot{x}(\tau),\tau]d\tau,$ .

здесь $x$ $(t)$ — вектор состояния $u$ $(t)$ — управление, $t 0, t 1$ — начальный и конечный моменты времени.

Задача оптимального управления заключается в нахождении функций состояния $x$ $(t)$ и управления $u$ $(t)$ для времени $({t_0}\le{t}\le{t_1})$ , которые минимизируют функционал.

Принцип максимума Понтрягина

Необходимость в принципе максимума Понтрягина возникает в случае когда нигде в допустимом диапазоне управляющей переменной невозможно удовлетворить необходимому условию (3), а именно $\hat{L}_{u}=0$ .

В этом случае условие (3) заменяется на условие (6):

$min_{u \in U}L(t,x(t),\dot{x}(t),u)=L(t,\hat{x}(t),\dot{x}(t),\hat{u}) \Longleftrightarrow min_{ u \in U}\left(F(t,x(t),u)-\lambda(t)a(t,x(t),u)\right)=f(t)-\lambda(t)a(t)$ (6).

В этом случае согласно принципу максимума Понтрягина величина оптимального управления равна величине управления на одном из концов допустимого диапазона. Более подробно принцип максимума Понтрягина разобран в книге^[3].