№19 Понятие о фазовом пространстве динамической системы. Фазовая траектория и фазовая точка
Фазовое пространство в математике и физике — пространство, на котором представлено множество всех
состояний системы, так, что каждому возможному состоянию системы соответствует
точка фазового пространства.
Сущность понятия фазового пространства заключается в том, что состояние
сколь угодно сложной системы представляется в нём одной единственной точкой, а эволюция этой системы — перемещением этой
точки. Кроме того, в механике движение этой точки определяется сравнительно
простыми уравнениями Гамильтона, анализ которых
позволяет делать заключения о поведении сложных механических систем.
В классической механике гладкие многообразия служат как фазовые
пространства.
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО в т е о р и и д и н а м и ч е ск и х с и с т е м - абстрактное пространство, ассоциированное с
конкретной динамич. системой, точки в к-ром однозначно характеризуют все возможные состояния
данной системы. Предполагается, что это пространство снабжено естеств. определением меры (расстояний, площадей и т.д.).
Исторически понятие Ф. п. введено с целью более удобного, наглядного
изучения поведения механич. систем. П р и м е р. Состояние системы из N
материальных точек, движущихся в 3-мерном пространстве, полностью
характеризуется заданием значений 3 N обобщённых координат
и 3N обобщённых импульсов
Ф.п. этой системы является 6N-мерное пространство, по координатным
линиям к-pогo откладываются
значения обобщённых координат и импульсов (q,
р).
В случае динамич. системы произвольной природы
Ф.п. определяется подобным образом. Именно, пусть состояние данной системы
полностью характеризуется заданием п
переменных, т. е. поведение системы описывается п
обыкновенными дифференц. ур-ниями
1-го порядка
Тогда такой системе ставится в соответствие n-мерное Ф. п., по осям
координат к-рого откладываются значения переменных х1,
х2, ..., хп,
называемых ф а з о в ы м и п ер е м е н н ы м и. Определение нормы в этом пространстве вводится,
исходя из смысла переменных х = (х1,
х2, ..., xn).
Если Ф. п. 2-мерно (1-мерно), то о нём говорят как о фазовой плоскости (фазовой
прямой). Напр., динамич. система, описываемая ур-нием
имеет 2-мерное Ф. п. (фазовую плоскость), по осям координат к-рого откладываются значения х
и
Текущему состоянию системы отвечает нек-рый набор
значений {xi(t)}
и, следовательно, нек-рая точка в Ф. п., называемая ф а з о
в о й т о ч к о й. С
течением времени значения фазовых переменных меняются. Соответственно фазовая
точка перемещается, описывая в Ф. п. нек-рую кривую,
называемую фазовой
траекторией.
